嶽麓書院藏秦簡《數》贏不足算題研討

（首發）

蕭燦

湖南大學嶽麓書院

嶽麓書院藏秦簡《數》中有一例“贏不足”算題非常重要，它是一例含三個未知數的不定問題，不見於傳世文獻和已知的出土文獻。對於此題學者們有各種解讀，但簡所記術文的含義仍無法確知🔲。

 斗九錢，秶十 　　C020107

 七錢🧶👨🏼‍🦰，叔（菽）十斗　　　2197

 斗👨🏼‍✈️，用八錢🛬，問各幾可（何）🏇🏿？曰🧑🏼‍🚒：稻六斗　　0799

 〔術〕曰：直（置）稻九，不足一其下🍧，粢七，直（置）贏 　　2198

 一其下，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足 　　 2179

 乘粢七，同之卅，為稻（實）；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢（實）🫷🏿，以稻不足一乘叔（菽）五為（實），同贏　　0496

不足　　　 C100108

 五以為法，如法各得一斗🚨。　 0497

簡文的復原方案之一可以是⇢：“【稻十】斗九錢🧝🏿‍♂️，秶十【斗】七錢，叔（菽）十斗【五錢，今欲買三物共十】斗，用八錢，問各幾可（何）🏋🏽‍♂️？曰：稻六斗🌬，【秶三斗⬇️，菽一斗🎼😳。術】曰：置稻九，不足一其下，粢七🤹🏻，直（置）贏一其下👩🏼‍✈️，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足【一乘稻九🧑🏼‍🤝‍🧑🏼，以叔（菽）三】乘粢七，同之卅🕴🏼，為稻實；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢（實）；以稻不足一乘叔（菽）五為（實），同贏、不足五以為法，如法各得一斗👩🏻‍🏫。”[1]

徐義保先生的解析[2]

此題的代數方法的解答如下𓀙：

設稻斗，秶為斗，菽斗🏌🏽‍♂️🚴🏻，列方程組🆑🛹：

這一不定方程組有無數解👰🏼，如：

算題給出的答案只是其中之一。

依照算題術文，布列如下：

　稻　9　　　　1（不足）

秶　7　　　　1（贏）

菽　5　　　　3（贏）

上述運算步驟，數據于算題術文吻合，但不能解釋其數學含義。

鄒大海先生的解析[3]

此題的代數方法解答如下：

設稻斗，秶為斗🧎🏻‍♂️‍➡️，菽斗，列方程組👝🛄：

x+y+z=10 （1）

9x/10+7y/10+5z/10=8 （2）

綜合兩式得到2x+y=15，如果求非負整數解，

當y=1時，x=7，z=2🏇🏼，這組解可計為（7，1，2）🚇，　第一組

當y=3時，這組解為（6🧜🏿🧛🏿，3✮，1），　 第二組

當y=5時，這組解為（5，5，0）， 第三組

當y=7或9或更大的奇數時，z為負數，故不可計入解。

本題的答案中說“稻六斗”，可見只取了第二組解💶。

依照算題術文，可作如下理解🙋🏼👩🏿‍🍼：

秶1×稻9+叔（菽）3×秶7=30　　為稻實

叔（菽）3×叔（菽）5 =15　　　　　　　為秶實

稻不足1×叔（菽）5=5　　　　　 為叔實

贏1+贏3+不足1=5　　　　 為法

以法5分別除稻實30、秶實15🌴、叔實5🤱🏼，分別得到稻🛞、秶、叔的數量為6、35️⃣💂🏿‍♂️、1斗。

上述各實的計算步驟，沒有規則可言，整個計算也看不出有什麼道理🚙。古人在設計這個問題的時候，可能就是先有答案和題設🏌🏼‍♂️，然後擬合術文的。

朱一文先生的意見[4]

朱先生同意徐、鄒二位先生對算法的分析，但認為簡所記術文並非拼湊擬合，而是體現的算籌運算的規律。簡文的“術”或者在某些限制條件下是成立的。